Make your own free website on Tripod.com

Bab 2
 Algebra
     
    2.1 Persamaan

    (a) Ungkapan dan sebutan
    Suatu ungkapan ialah satu kumpulan simbol-simbol yang mengandungi satu atau lebih sebutan. 3x – 7y + 5z ialah satu ungkapan yang mengandungi tiga sebutan.
    Ungkapan dibahagikan kepada tiga jenis iaitu

    (i) Monomial, misalnya 3x
    (ii) Binomial, misalnya 3x – 7y
    (iii) Polinomial, misalnya 3x – 7y + 5z + 7t

    (b) Hasil Darab
    Hasil darab p dan q boleh ditulis sebagai p X q atau p.q ataupun pq. Biasanya ia hanya ditulis sebagai pq

    (c) Faktor
    Setiap kuantiti yang didarabkan disebut satu faktor hasil darab tersebut. 7, x, y adalah faktor-faktor hasil darab 7xy

    (d) Pekali
    Jika terdapat kuantiti berangka dalam sesuatu faktor, maka ia disebut sebagai pekali untuk faktor tersebut. Dalam ungkapan 7uv3, 7 adalah pekali bagi uv

    (e) Gandaan
    Jika kita darabkan b X b X b X b X b, kita boleh tuliskan b5. Begitu juga untuk p4, q6 dan r9, 4, 6, dan 9 disebut gandaan.

    (f) Operasi Algebra
    Jika dua kuantiti (atau lebih) didarabkan, hukum-hukum berikut harus dipatuhi :
      ( + )  X  ( + )  =  ( + ) ,                        ( - )  X  ( - )  =  ( + )
      ( + ) X ( - )   =  ( - ) ,                           ( - )  X  ( + )  =  ( - )
      ( + )  ?  ( + )  =  ( + ) ,                         ( - ) ?  ( - )  =  ( + )
      ( + ) ?  ( - )   =  ( - ) ,                         ( - ) ?  ( + )  =  ( - )

    2.2 Hukum Operasi Persamaan

    (a) Hukum Bertukar Tertib
    p  X  q    =    q  X  p

    Contoh 1:
     5  X  2   =   2  X  5
            10  =   10

    Contoh 2:
     5n X 3n =  5n X 3n
         15n2 = 15n2 

    (b) Hukum Sekutuan
    a ( b + c)  =     ab  +   ac

    Contoh 3:
      Kembangkan
     (a) 5 ( 3p + 5q – 7r ) (b) 2m ( 2n - 4m + 5np )
      = 15p + 25q – 35r   = 4 mn  - 8m2 + 10 mnp

    (c) Hukum Sekutuan Ungkapan Majmuk
    ( a + b ) ( c + d)  =  a ( c + d ) + b ( c + d ) 
                               =   ac  +  ad  +  bc  +  bd 
     Contoh 4:
      Darabkan ( 2 + p ) dan ( 5 + q )
     Penyelesaian :
    ( 2 + p ) X ( 5 + q ) = 2 ( 5 + q ) + p ( 5 + q )
                                = 10  +  2q  +  5p  +  q2 

    2.3 Menyelesaikan Persamaan

    2.3.1 Persamaan Mudah
    Untuk memperolehi jawapan dengan mudah, kumpulkan anu di sebelah kiri persamaan dan selesaikan.

    Contoh 5 :
      Selesaikan 6y - 7 = 3y + 2

     Penyelesaian :
        6 y – 7 =   3 y + 2
      6 y – 3 y =   2 + 7
               3y =  9
                 y = 9/3
                   =   3

    2.3.2 Persamaan Pecahan
    Untuk menyelesaikan persamaan pecahan, dapatkan pembawah sepunya terlebih dahulu dan darabkan dengan setiap sebutan. Kumpulkan anu disebelah kiri dan selesaikan.

    Contoh 6 :
     Selesaikan   x   +   3   =   3x   -   3
                      4        4        2 
      Penyelesaian :
       * pembawahnya ialah 20

           5x     +    15           =         30x        -      60
                   5x  -  30 x      =     -  60  -  15 
                             - 25 x  =     - 75
                                   x   =    - 75 / - 25
                                       =      3 

    2.3.3 Persamaan Polinomial
    Untuk menyelesaikan persamaan polinomial, beberapa langkah berikut harus dipatuhi :

    (i) Pilih satu persamaan daripada beberapa persamaan (biasanya tiga atau lebih) yang paling ringkas. 
    (ii) Ubahsuai persamaan agar hanya satu anu sebelah kiri dan selebihnya disebelah kanan.
    (iii) Gantikan persamaan tersebut kedalam persamaan lain
    (iv) Selesaikan baki persamaan tersebut.

    Contoh 7:
     Selesaikan untuk x, y dan z dalam persamaan-persamaan berikut :
     x  +  y  +  z  =  2
      2x +  y + 3z  =  9
      3x +  y  - 2z  =  2

    Penyelesaian :
    Langkah (i):
     Persamaan yang dipilih ialah x  +  y  +  z  =  2

    Langkah (ii) :
     Ubah suai
     x  =  2  - y  -  z   ----------(1)

     Langkah (iii) :

      Masukkan persamaan ? kedalam persamaan lain
     2 (2  - y  -  z ) +  y + 3z  =  9    ----------(2)
      3 (2  - y  -  z ) +  y  - 2z  =  2    ----------(3)

      Ringkaskan persamaan (2)dan persamaan (3)

      4  -  2y  -  2z  +  y  +  3z  =  9
                z – y = 5   ----------(4)
      6  -  3y  -  3z  +  y  -  2z  =  2
           -5z  -2y =  - 4 ----------(5)

     Langkah (iv)
      Selesaikan baki persamaan tersebut
                z – y = 5   ----------(4)
           -5z  - 2y =  - 4 ----------(5)
      Persamaan (5) X 2
          2z  -  2y  =  10  ----------(6)
        - 5z – 2y  =  - 4   ----------(7)

      Persamaan (6)tolak persamaan (7)

                   7z  =  14     oleh itu   z  =  2

      Untuk dapatkan nilai x dan y gantikan kedalam mana-mana persamaan diatas  Oleh itu    x = -3   dan   y  = 3

    2.3.4 Persamaan Kuadratik/Ganda Dua
    (a) Melengkapkan Gandaan / Kuasa Dua
    Secara amnya, langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara melengkapkan gandaan ialah :

    (i) Persamaan disusun semula supaya sebutan yang mengandungi x2 dan x diletakkan di sebelah kiri dan pemalar disebelah kanan iaitu ax2  +  bx    =    c

    (ii) Pekali untuk x2 mestilah 1

    (iii) Oleh itu  x2  +  b/ax  =   c/a 

    (iv) Nilai b/a hendaklah dibahagikan dengan 2 dan dikuasaduakan dua dan ditambahkan kedua-dua belah persamaan.

    (v) Kemudian selesaikan

    Contoh 8:
     Selesaikan persamaan 2x2  +  10x  -  6  =  0
    Penyelesaian :
     

                     x2  +  5x  =  3
       x2  + 4x  +  (5/2)2  =  3  +  (5/2)2 
       x2  + 4x  +  (25/4)  =  3  +  (25/4)
               ( x + 6.25 )2  =  3  +  6.25
                                  =   9.25 
                   x + 6.25    =  ? 9.25
                            x     =  ? 3.04    -  6.25 
                            x     =   - 9.25   atau    3.21

    (b) Penyelesaian Dengan Pemfaktoran

    Contoh 9 :

     Selesaikan persamaan 2x2  -  7x  -  15  =  0
    Penyelesaian :
              2x2  -  7x  -  15  =  0
     ( 2x  +  3 ) ( x  -  5  )  =  0
           oleh itu   x = -3/2  atau  x = 5

    (c) Penyelesaian Dengan Formula
    Jika faktor untuk ungkapan kuadratik susah di dapatkan, kita boleh gunakan formula berikut.
    Jika ax2  +  bx    +   c  =  0
    Maka     x  =  - b b2 – 4ac
                                 2a

     Contoh 10 :
      Selesaikan persamaan 3x2  -  8x  +  2  =  0
     Penyelesaian :
      Didapati bahawa  a  =  3,  b  =  - 8,  c  =  2

    2.3.5 Persamaan Serentak
    (a) Kaedah Gantian

    Contoh 11:
     Selesaikan persamaan serentak berikut :
      2x  +    y  =  10   ----------(1)
      3x  +  2y  =  17   ----------(2)
    Penyelesaian :
     Daripada persamaan ?, didapati
      y  =  10 – 2x   ----------(3)
     Masukkan persamaan (3) ke dalam persamaan (2)
      3x  +  2 ( 10 - 2x )  =  17
            3x  +  20  -  4x  =  17
           x  =  3
     Masukkan nilai x ke dalam persamaan (3)
      y  =  10 – 2 ( 3 )
              =  4
     Penyelesaiannya ialah : x = 3,  y = 4

    (b) Kaedah Penolakan (penghapusan)
    Contoh 12:
     Selesaikan persamaan serentak berikut :
      3x  +  4y  =  11  ----------(1)
       x  +  7y  =  15   ----------(2)
    Penyelesaian :
     Darabkan persamaan (2) dengan 3
    maka  3x  +  21y  =  45  ----------(3)
     Tolakkan persamaan ? daripada persamaan ? untuk menghapuskan x
     ( 3x  +  4y  ) – ( 3x  +  21y )  =  11  -  45
              3x  -  3x  +  4y  -  21y  =  -34
                                       -17y  =  - 34
                                           y  =  2
     Masukkan nilai y ke dalam persamaan (1)
      3x  +  4(2)  =  11
     3x  =  3
              ? x  =  1
      Penyelesaiannya ialah : x = 1 , y = 2

    2.4 Tukar ganti persamaan

    Contoh 13:
     Selesaikan untuk x, y dan z dalam persamaan-persamaan berikut :
     x  +  y  +  z  =  2
      2x +  y + 3z  =  9
      3x +  y  - 2z  =  2
    Penyelesaian :
    Katakan x  +  y  +  z  =  2    ---------(1)
      2x +  y + 3z  =  9   ----------(2)
      3x +  y  - 2z  =  2   -----------(3)
    Ubah suai persamaan ? kepada :
     x  =  2  - y  -  z 

     Masukkan persamaan (1) kedalam persamaan (2) dan persamaan ?
     2 (2  - y  -  z ) +  y + 3z  =  9    ----------(2)
      3 (2  - y  -  z ) +  y  - 2z  =  2    ----------(3)
     Ringkaskan persamaan (2) dan persamaan (3)
      4  -  2y  -  2z  +  y  +  3z  =  9
                z – y = 5   ----------(4)
      6  -  3y  -  3z  +  y  -  2z  =  2
           -5z  -2y =  - 4 ----------(5)
     Selesaikan baki persamaan tersebut
                z – y = 5   ----------(4)
           -5z  - 2y =  - 4 ----------(5)
     Persamaan ? X 2
          2z  -  2y  =  10  ----------(6)
        - 5z – 2y  =  - 4   ----------(7)
     Persamaan ? tolak persamaan ? 
                   7z  =  14     oleh itu   z  =  2
     Untuk dapatkan nilai x dan y gantikan kedalam mana-mana persamaan diatas  Oleh itu    x = -3   dan   y  = 3

    2.5 Ubahsuai Persamaan/Formula
    Tujuannya ialah untuk mengatur balik formula asal tanpa mengubah maksud asalnya. Kaedahnya adalah sama dengan kaedah untuk menyelesaikan persamaan mudah.
    Contoh 14 :
     Jika  I  = BD3 , jadikan D sebagai ‘subjek’ formula. 
                   7 
    Penyelesaian :
      BD =  I
       7 
      BD3  =   7I
       D3  =  7I
                    B

     
     

     Tamat

    ******************************************
    Buku Rujukan:-
    1. Buku Panduan Ibu Pejabar MARA. Bahagian Kemahiran,Kuala Lumpur

    ******************************************
    SOALAN KEFAHAMAN
    Untuk  menguji kefahaman anda sila jawab soalan berikut
    Soalan 2