Bab 6

Bab 6
Kalkulus

6.1 Kalkulus Pembezaan Kalkulus merupakan salah satu bidang matematik yang melibatkan pengiraan atau perhitungan kuantiti-kuantiuti yang tidak diskrit. Ia mengandungi pembezaan dan pengamilan yang menggunakan algebra dan geometri koordinat.

Kalkulus Pembezaan pula melibatkan penentuan kadar perubahan.

6.1.1 Definisi

(a) Pembolehubah dan Pemalar

Di dalam ungkapan-ungkapan algebra, kita menggunakan huruf-huruf dan simbol-simbol untuk mewakilkan kuantiti-kuantiti atau nombor-nombor. Huruf-huruf dan simbol-simbol tersebut mengambarkan pembolehubah atau pemalar.

Pemalar ialah suatu nombor atau kuantiti di mana nilainya adalah tetap manakala pembolehubah ialah suatu nombor atau kuantiti fizikal di mana nilainya berubah.

Contoh 1 :

Formula luas bagi bulatan ialah pj²dan katakan simbol bagi luas bulatan ialah L. Nyatakan kuantiti manakah ialah pemalar dan pembolehubah.

Penyelesaian :
Pemalar : p
Pembolehubah : L dan j

(b) Fungsi

Fungsi ialah satu hubungan antara setiap unsur dengan satu unsur yang unik. Contoh 2 :

Jika f ( x ) = 3x² + 2x - 10 dapatkan nilai f ( 3 ) dan f ( - 2 ).

Penyelesaian :

f ( x ) = 3x² + 2x - 10

f ( 3 ) = 3x² + 2x - 10
= 3 ( 3 )² + 2 ( 3 ) - 10
= 27 + 6 - 10
= 23 f ( - 2 ) = 3x² + 2x - 10
= 3 ( - 2 )² + 2 ( - 2 ) - 10
= 12 - 4 - 10
= - 2

6.1.2 Had ( Limit )

Suatu fungsi bagi x mungkin tidak mempunyai nilai apabila x = a. Namun begitu mungkin juga ia akan menghampiri suatu nilai apabila x menghampiri a, di mana a diandaikan sebagai suatu nilai tertentu bagi x.

Katakan,

y = x² + 9
x - 3

Apabila x = 3

Maka y = 9 - 9 = 0
3 - 3 = 0

Ini adalah tidak bermakna kerana nilai 0/0 = ¥ ; adalah tak tentu

Namun begitu, y menghampiri suatu nilai apabila x menghampiri 3.

Apabila x menghampiri 3 ( x ® 3 )

y = x² - 3²

   = ( x – 3 ) ( x + 3 )
          ( x – 3 )
   = x + 3

= 3 + 3

= 6

Ini bermakna y akan menghampiri nilai 6 jika x menghampiri 3.

Katakan kita ambilkan nilai x yang menghampiri nilai 3

Jika x = 3.1 maka y = 6.1

Jika x = 3.01 maka y = 6.01

Jika x = 3.001 maka y = 6.001

dan seterusnya, y menghampiri 6 jika x menghampiri 3. Dalam kes ini, kita nyatakan bahawa nilai y adalah tak tentu jika x = 3, tetapi y menghampiri nilai 6 jika x menghampiri 3.

Katakan y ialah suatu fungsi di mana nilainya tak tentu jika x = a. Namun begitu y akan menghampiri suatu nilai, katakan m, jika x menghampiri a. Untuk kes ini kita katakan bahawa y menghampiri had (limit) m apabila x menghampiri a. Secara ringkasnya ditulis :

y ® m apabila x ® a

atau

Had ( y ) = m

x ® a

Ini boleh dibaca sebagai ‘had bagi y apabila x menghampiri a, ialah m.’

Contoh 3 :

Dapatkan had bagi x³ - 3x² apabila x ® 3.
x² - 9

Penyelesaian :

Katakan :

y = x³ - 3x²
x² - 9

Apabila x = 3

y = 27 - 27 = 0 = ¥
9 - 9 0

Apabila x ¹ 3, ( x ® 3 )

y = x³ - 3x²
x² - 9

= x² ( x – 3 )
( x – 3 ) ( x + 3 )

= x² ( x ¹ 3 )
( x + 3 )

\ had ( y ) = 3²
3 + 3

= 9
6

= 3
2

6.1.3 Perubahan dan Pembolehubah

Apabila nilai suatu pembolehubah berubah daripada a ke b, perbezaan ( b – a ) disebut perubahan dalam pembolehubah. Di dalam kalkulus pembezaan, perubahan dalam x di tulis sebagai d x ( delta x ), perubahan dalam y, ditulis d y, perubahan dalam u, ditulis d u, perubahan dalam A, ditulis d A dan seterusnya.

6.1.4 Pembezaan dari Prinsip Pertama

Kecerunan Garis Lengkung

Untuk suatu graf garis lurus, kecerunannya adalah tetap iaitu sama pada sebarang titik di atas garis. Kecerunan untuk suatu graf lengkung adalah berubah-ubah pada titik-titik yang berlainan. Katakan kita hendak mencari kecerunan untuk garis lengkung y = x² (lihat rajah dibawah)

Ambil satu titik A ( 1 , 1 ). Lukiskan garis AB yang memetong garis lengkung di titik B. Lukiskan Ac selari dengan paksi-x, BC selari dengan paksi-y. Katakan panjang AC ialah d x dan CB ialah d y.

Kecerunan untuk garis AB = tan Ë BAC

= dy
d x

Untuk fungsi y = x², apabila x bertambah sebanyak d x dan y bertambah sebanyak d y, kita perolehi

y + d y = ( x + d x )²

= x² + 2xd x + ( d x )²

d y = x² + 2xd x + ( d x )² - y

= x² + 2xd x + ( d x )² - x² { diketahui y = x²}

= 2xd x + ( d x )²

¸ d x dy = 2x + d x
dx

Dari sini kita akan dapatkan nilai d y/d x untuk sebarang nilai d x pada sebarang titik di atas garis lengkung di mana nilai x diketahui. Jika x = 1, (titik A) kita akan dapati keputusan berikut :

d x d y = 2x + d x d x

0.3 2 + 0.3 = 2.3

0.2 2 + 0.2 = 2.2

0.1 2 + 0.1 = 2.2

0.01 2 + 0.01 = 2.01

0.001 2 + 0.001 = 2.001

0.0001 2 + 0.0001 = 2.0001

Keputusan di atas, menunjukkan nilai kecerunan untuk AB apabila d x menuju ke kosong, dan B bergerak menuju A. Adalah jelas bahawa kecerunan AB menuju ke nilai 2 apabila d x menuju ke 0 iaitu

Kecerunan bagi suatu titik ( titik A untuk contoh di atas ) disebut kecerunan garis tangen pada titik tersebut. Jadi untuk contoh di atas, kecerunan untuk tangen pada lengkung y = x² di titik A( 1 , 1 ) ialah 2

Kaedah untuk mencari kecerunan bagi lengkung y = x² di titik A(1,1) boleh digunakan untuk mencari kecerunan pada sebarang titik. Katakan kita hendak mencari kecerunan untuk sebarang titik (x,y) pada lengkung y = x² ( lihat rajah dibawah )

Oleh kerana B ( x + d x , y + d y ) terletak di atas lengkung y = x²

\ y + d y = ( x + d x )²

= x² + 2xd x + ( d x )²

d y = 2xd x + ( d x )²

¸ d x, dy = 2x + d x
dx

Ambilkan had d x ® 0,

\ had dy = 2x
dx ® 0 dx

Kita gunakan simbol ^dy/_dx ( dy per dx ) untuk menunjukkan had bagi d^y/d_x apabila d x ® 0, iaitu :

\ had dy = dy
d x ® 0 dx dx

= 2x

Proses untuk mendapatkan ^dy/_dx disebut pembezaan dan proses pembezaan dengan mengirakan betul-betul had dy^/d_x apabila d x ® o disebut pembezaan dari prinsip pertama. Simbol ^dy/_dx juga ditulis f’(x) atau Dy, dan disebut pembezaan y terhadap x.

Contoh 4 :

Jika y = x³ , dapatkan ^dy/_dx dari prinsip pertama

Penyelesaian :

Katakan d x ialah tembahan dalam x dan d y ialah tambahan dalam y

\ y + d y = ( x + d x )³

= x³ + 3x^2dx + 3x( d x )² + (d x)³

y = 3x^2dx + 3x( d x )² + (d x)³

¸ d x, dy = 3x² + 3x d x + (d x)² d x

\ had dy = 3x²
d x ® 0 dx

Jika kita perhatikan dari contoh-contoh yang telah diberikan, kita boleh dapati keputusan adalah seperti berikut :

y ^dy/_dx

x²
x³
2x = 2x² - 1
3x² = 3x³ - 1

Jadi kita boleh membuat kesimpulan bahawa jika

y = x ⁿ

\ dy = nx^{n - 1}

Petua di atas dapat dibuktikan.

Contoh 5 :

Bezakan fungsi-fungsi berikut terhadap x

(a) y = x⁶ (b) y = 5
x²

Penyelesaian :

(a) y = x⁶
\ d ( x⁶ ) = 6x ^{6 – 1}
   dx
= 6x ⁵
(b) y = 5 x ^{- 2}
\ d (5 x ^{- 2}) = ( - 2 )5 x ^{– 2 - 1}
   dx
= - 10 x ^{– 3}
= - 10
    x ³

6.1.5 Petua-petua Pembezaan

Setakat ini kita telah pelajari satu asas untuk pembezaan iaitu :

Jika y = x ⁿ

\ dy = nx^{n - 1}
dx

Kita akan pelajari petua-petua pembezaan yang selanjutnya.

(a) Fungsi Gubahan ( Hukum Rantai )

Katakan kita hendak bezakan y = u terhadap x di mana u ialah suatu fungsi x. Anggapkan pertambahan dalam x yang melibatkan pertambahan dalam u, d u dan seterusnya y, d y

\dy = dy X du
dx du dx

Dengan menganggapkan d x ® 0

\ had [dy] = had [dy] X had [du]
d x ® 0 [dx] dx ®0 [du] d x ® 0 [dx]

iaitu,

dy = dy X du
dx du dx

Petua ini juga disebut petua rantai demi fungsi atau hukum rantai

Contoh 6 :

(b) Petua Hasil-Darab

Katakan suatu fungsi y = u X v di mana u dan v adalah masing-masing suatu fungsi bagi x. Pertambahan dalam x yang menghasilkan pertambahan dalam x yang menghasilkan pertambahan dalam u, d u dan dalam v, d v dan seterusnya dalam y, d y.

Jadi, dari y = uv

y + d y = ( u + d u ) ( v + d v )

= uv + ud v + vd u + d ud v

d y = ud v + vd u + d ud v

\ dy = udv + vdu + dud v
dx dx dx dx

Apabila d x ® 0, d u ® 0, d v ® 0, Maka dengan mengambil had

dy = u dy + v du
dx dx dx

Contoh 7 :

Bezakan fungsi y = x³ ( 3x – 4 )⁴

Penyelesaian :

Katakan u = x³ dan v = ( 3x – 4 )⁴

Maka du = 3x² dv = 4 ( 3x – 4 )⁴ X 3 = 12( 3x – 4 )⁴
dx dx

\ dy = u dy + v du
dx dx dx

= x³ 12 ( 3x – 4 )⁴ + ( 3x – 4 )⁴ 3x²

= 12 x³ ( 3x – 4 )⁴ + 3 x³ ( 3x – 4 )⁴

= 3x² ( 3x – 4 )³ [ 4x + ( 3x – 4 ) ]

= 3x² ( 3x – 4 )³ ( 3x – 4 )

= ( 21³ – 12x² ) ( 3x – 4 )³

(c) Petua Hasil-Bahagi

Jika y = ^u/_v di mana u dan v adalah masing-masing fungsi bagi x, dengan cara yang sama :

y + d y = u + d u
v + d v

d y = u + d u - u
v + d v v

= v d u - ud v
v ( v + d v )

           v du - u dv
   \ d y = dx      dx
         v ( v + d v )

mengambilkan had d x ® 0 , d u ® 0 , d v ® 0 ,

maka

                    v du - u dv
              \ dy =    dx     dx
             dx            v²

Contoh 8 :

Bezakan fungsi y = ( x³ – 4 ) terhadap x
( x² + 3 )

Penyelesaian :

Katakan u = ( x³ – 4 ) dan v = ( x² + 3 )

Maka du = 3x² dv = 2x
dx dx

         v du - u dv
    dy = dx      dx
              dx v²

= ( x² + 3 ) ( 3x² ) - ( x³ - 4 ) ( 2x )
( x² + 3 )²

= ( 3x⁴ + 9x² ) - ( 2x⁴ - 8x )
( x² + 3 )²

= x⁴ + 9x² + 8x
( x² + 3 )²

(d) Fungsi Tersirat

Fungsi tersirat ialah fungsi di mana hubungan antara x dan y adalah tidak jelas. Misalnya : x² + 4y² = 3y dan xy + 3x² = 6

Untuk mendapatkan pembezaan fungsi-fungsi tersebut, caranya ialah dengan membezakan setiap sebutan satu per satu dan mengaturkan semula keputusan yang diperolehi. Contoh 9 :

Dapatkan ^dy/_dx untuk fungsi x² - y² + 3x = 5y²

Penyelesaian :

d ( x² ) - d ( y² ) + d ( 3x ) = d ( 5y² )
dx dx dx dx

2x - 2y dy + 3 = 10y dy
dx dx

2x + 3 = 10y dy + 2y dy
dx dx

= 12 y dy
dx

\ dy = 2x + 3
dx 12y

Tamat
******************************************
Buku Rujukan:-
1. Buku Panduan Ibu Pejabar MARA. Bahagian Kemahiran,Kuala Lumpur

******************************************
SOALAN KEFAHAMAN
Untuk menguji kefahaman anda sila jawab soalan berikut
Soalan 6