3.1 Graf Garis Lurus / Linear 

Persamaan 

                        y  =  3x  +  4       dan     y  =  7x  -  7 

adalah persamaan-persamaan darjah pertama. Persamaan darjah pertama boleh ditulis dalam bentuk piawai, iaitu : 

                                        y  =  mx  +  c 

         Oleh itu,      y  =  3x  +  4      adalah dalam bentuk piawai di mana  m  =  3  dan  c  =  4. Persamaan darjah pertama akan menghasilkan graf bergaris lurus dan disebut persamaan linear. 

Makna Pemalar m dan c 

Titik B adalah sebarang titik di atas garis lurus (Rajah 3.1) dan mempunyai koordinat x dan y. Titik A adalah penggal garis lurus pada paksi-y dengan koordinat  x = 0 dan y = c. 

             BC  =  tan  ø 
                 AC 
                 BC  =  AC tan ø 
                tetapi, 
                  y   =  BC  +  CD 
                       =  AC  tan ø  +  CD 
                       =  ( tan ø ) x  +  CD     ---------- (1)

        Diketahui y  =  mx  +  c ,  iaitu persamaan piawai untuk persamaan linear. Dari persamaan 1 kita ketahui : 

                c   =   penggal pada paksi-y 
     Dan      m  =   tan ? 

? disebut lereng graf dan m disebut kecerunan 
 

3.2 Prinsip-prinsip Graf Garis Lurus / Linear 

Magnitud kecerunan sesuatu garis lurus menunjukkan beberapa curamnya garis lurus itu. Semakin curam suatu garis lurus, semakin besarlah magnitud kecerunannya. 
 

Misalnya, dalam graf disebelah, garis lurus PQ lebih curam daripada garis lurus AB, maka kecerunan garis lurus PQ adalah lebih besar daripada kecerunan garis lurus AB. Semua garis lurus yang condong ke kanan mempunyai kecerunan positif. Semua garis lurus yang condong ke kiri mempunyai kecerunan negarif. Pintasan-x ialah koordinat-x bagi titik persilangan suatu garis lurus dengan pekali-x manakala pintasan-y ialah koordinat-y bagi titik persilangan suatu garis lurus dengan pekali-y

3.3          Membentuk Persamaan Garis Lurus / Linear 

3.3.1       Apabila diberi pintasan-y dan kecerunannya 
              Gantikan m = kecerunan dan c = pintasan-y dalam persamaan 
              y = mx + c 

Contoh 1: 

Garis lurus MN mempunyai kecerunan 1/3 dan pintasan-y nya ialah – 4. Tulis persamaan bagi garis lurus itu.

Diberi

3.3.2 Apabila diberi kecerunan dan satu titik pada garis lurus 

Jika diberi kecerunan dan satu titik pada garis lurus, maka persamaan garis lurus itu dapat dicari dengan mengikut langkah-langkah berikut : 
Langkah 1: Anggapkan persamaan garis lurus itu sebagai y = mx + c 
Langkah 2: Gantikan nilai kecerunan serta koordinat titik yang diberi dalam persamaan y = mx + c untuk menentukan nilai c 

Contoh 2: 

Cari persamaan bagi garis lurus yang mempunyai kecerunan – 2 dan melalui titik ( 2 , 6 ). 

Penyelesaian : 

Anggapkan persamaan garis lurus itu ialah  y  =  mx  +  c 
Gantikan  m  =  - 2,  x  =  2  dan  y  =  6  dalam persamaan tersebut 
            6 =  - 2 ( 2 ) +  c 
               =   - 4  +  c 
    6 + 4    =    c 
         c    =   10 

Oleh itu persamaan garis lurus ialah 

           Y  =  - 2x  +  10 
 

3.3.3 Apabila diberi dua titik yang terletak pada garis tersebut. 

Jika koordinat bagi dua titik pada suatu garis lurus diberi, maka persamaan lurus dapat ditentukan dengan mengikut langkah-langkah berikut : 

Langkah 1: Anggapkan persamaan garis lurus itu sebagai y  =  mx  +  c 
Langkah 2: Hitungkan kecerunan garis lurus daripada dua titik yang diberi 
Langkah 3: Gantikan nilai kecerunan serta koordinat salah satu titik  dalam persamaan  y  =  mx  +  c  untuk mencari nilai c 

Contoh 3: 

Cari persamaan yang menyambungkan titik ( - 4 , - 2  ) dengan titik ( 1 , 8 ). 

Penyelesaian : 

Anggap persamaan garis lurus sebagai  y  =  mx  +  c,  ( x1 , y1 ) = ( - 4 , - 2  ) dan ( x2 , y2 ) = ( 1 , 8 ). 
  Kecerunan, m  =  y2  -  y1
                           x2  -  x1 
                       =  8  -  ( - 2 )
                           1  - ( - 4 ) 
                       =  10
                             5 
                       =   2

Gantikan m = 2 dan koordinat ( 1 , 8 ) dalam persamaan y  =  mx  +  c 

             y  =  mx  +  c 
            8   =   2 (1)  +  c 
                 =  2  +  c 
            c   =  6 

  Jadi persamaan garis lurus itu ialah 
             y  =  2x  +  6 
 

3.4         Menyelesaikan Persamaan Secara Graf 

Kita telah pelajari cara-cara menyelesaikan persamaan serentak dengan cara algebra. Sekarang kita akan gunakan kaedah melukis graf untuk menyelesaikan persamaan serentak, linear dan tak linear. 
 

3.4.1 Menyelesaikan Garis Lurus / Linear 

Contoh 4: 

Selesaikan persamaan serentak berikut secara graf. 

              y  -  2x  =  2       ----------(1)
             3y  +  x  =  20    ----------(2)

Penyelesaian : 

 Persamaan di atas boleh diubahkan sebagai 

              y  =  2x  +  2 
              y  =  20  -  x 
                          3 

Dengan mengambil nilai x diantara – 4 hingga 4, kita boleh membuat jadual seperti di bawah. 

 

Penyelesaian persamaan  ialah penyilangan antara dua garis lurus pada titik p di mana koordinatnya ialah ( 2 , 6 ). 
 x  =  2  dan  y  =  6 

3.4.2 Persamaan Kuadratik / Ganda Dua 

Contoh 5 : 
 Lukiskan graf  y  =  3x2  +  10x  -  8, dengan mengambil nilai  x  =  - 6 hingga x = 4. Kemudian selesaikan persamaan 3x2 + 10x – 8 = 0 

 X - 6 - 4 - 2 0 2 4 
 y 40 0 - 16 - 8 24 80 
 

Penyelesaian persamaan ialah penggal lengkuk yang bersilang dengan paksi-x iaitu : 
 x  =  - 4  dan  x  =  0.67 
Peringatan : 
 Ketepatan penyelesaian bergantung kepada ketepatan melukis graf 

3.4.3 Persamaan Serentak Garis Lurus / Linear dan Kuadratik / Ganda Dua 

Contoh 6: 
 Selesaikan persamaan serentak berikut secara garaf 
  y  =  2x2  -  3x  +  2 
  y  =  x  +  0.5 
Penyelesaian : 
 Untuk menyelesaikan persamaan serentak tersebut, kita terpaksa melukiskan dua graf di atas paksi yang sama. Satu graf ialah linear (garis lurus) dan satu lagi graf lengkuk (parabola). Oleh itu dua jadual bersesuaian diperlukan dengan mengambil julat untuk x yang sesuai. 

Penyelesaian persamaan serentak di atas adalah persilangan di antara dua graf, iaitu pada titik-titik persilangan iaitu 
  x  =  0.5,  y  =  1     dan     x  =  1.5,  y  =  2 

3.5 Mengubahsuai Persamaan Kuadratik / Ganda dua kepada Persamaan Garis Lurus / Linear 

Kita ketahui bahawa graf daripada persamaan  y = mx + c  adalah bergaris lurus. Tetapi bukannya setiap hukum dalam ilmu sains berbentuk linear. 
Persamaan yang akan membentuk graf lengkuk boleh diubahsuai supaya menghasilkan graf garis lurus. 
Sebagai contoh : 
  y  =  px  +  qx2  ----------(1)
Jika nilai-nilai x dan y diplotkan di atas graf, hasilnya adalah graf parabola. 
Bahagikan persamaan (1) dengan x 
  y  =  p  +  qx 
  x 
Bandingkan dengan 
  y =  mx  +  c 
Jika kita plotkan graf y/x bertentangan dengan x, maka satu garis lurus dengan kecerunan q akan terhasil 
 

3.6 Mengubahsuai Persamaan dengan Logaritma 

Katakan persamaan y  = axn  hendak diubahkan supaya menjadi persamaan linear : 

               y  =  a x n 
         log  y  =  log  axn 
                  =  log  a  +  log  x n 
        log  y  =  log  a  +  n  log  x 

Bandingkan dengan persamaan 
    y =  mx  +  c 

Contoh 7: 
Dalam satu ujikaji untuk menentukan hubungan antara dua kuantiti, T dan d, data-data berikut telah diperolehi : 

Tunjukkan dengan bantuan satu graf garis lurus, bahawa nilai-nilai tersebut adalah dihubungkan oleh hukum T = k d n. Dapatkan nilai-nilai k dan n. 

Penyelesaian : 
  Dari T = k d n 
 Didapati  log  T  =  log  k  +  n  log  d 

Bandingkan dengan y =  mx  +  c 
 Jadual untuk nilai baru ialah : 

 Dengan nilai-nilai baru tersebut, satu graf garis lurus boleh diplotkan. Daripada graf yang dilukis, kita boleh tentukan nilai-nilai yang dikehendaki 

Ambilkan dua titik yang sesuai di atas garis lurus, 
 Katakan :  A ( 0.35 , 1 )  dan  B ( 0.6 , 1.15 ) 

 Gantikan ke dalam persamaan dibawah 
  log  T  =  log  k  +  n  log  d 
        1 =  log k  +  0.35 n  ----------(1)
  1.15  =  log k  +  0.6 n    ----------(2)
 Persamaan (1) tolak persamaan (2)
         0.5  =  0.25 n 
           n  =  0.5 

Dari persamaan (2)
                    1 =  log k  +  0.35 ( 0.5 ) 
        1 – 0.175  =  log k 
              log k  =  0.825 
                   k  =  6.683 

 Oleh itu, hukumnya ialah : 
         T  =  k  d  0.5 
            =  6.683  d